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Aplicación al caso discreto
Se definen las probabilidades para los niveles de gris.
Por efecto del cálculo discreto esta función de densidad de probabilidad ps(s) no resulta plana.
La transformación inversa no se emplea en la ecualización de los histogramas aunque si en otras aplicaciones.
Pueden realizarse ajustes a histogramas con distintas formas, esto se conoce como especificación de histograma.
Es posible aplicar ecualizaciones locales dividiendo la imagen en regiones.
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Ejemplo de ecualización
Imagen original Imagen ecualizada
Transformación de nivel de gris
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Especificación de histogramas
Se puede transformar una imagen de tal forma que su histograma se ajuste a uno cualquiera predeterminado.
Como en el caso de la ecualización en el caso continuo la solución es exacta mientras que en el discreto solo se aproxima.
Se parte de suponer conocida la imagen que deseamos obtener.
(Gp:) Imagen g igualada de f
(Gp:) T(r)
(Gp:) s
(Gp:) Imagen l igualada de h
(Gp:) G(z)
(Gp:) v
(Gp:) G-1(s)
(Gp:) Imagen f original
(Gp:) r
(Gp:) pf(r)
(Gp:) Imagen h especificada
(Gp:) z
(Gp:) ?
(Gp:) ph(z)
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Transformación de la escala de grises
Con la dilatación (stretching) se pretende aprovechar todos los niveles de la escala de grises.
También es posible dilatar un intervalo a la vez que se contrae otro.
r0 a b rL-1 rk
rk
niveles de salida
niveles de entrada
rL-1
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Transformaciones geométricas
Permiten eliminar distorsiones geométricas introducidas a la hora de la captura de la imagen.
También se emplean en gráficos por computador (traslación, escalado, rotación, perspectiva).
x’ = Tx (x , y) y’ = Ty (x , y)
La transformación se realiza en dos pasos.
Transformación de las coordenadas del pixel, tratándolas como números reales, luego se ajustan a la rejilla ya que en general no coincidirán con un punto de la misma.
El brillo se ajusta como una interpolación de niveles de gris.
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Interpolación del brillo
Se debe obtener el valor de nivel de gris para cada nuevo punto de la rejilla tras la transformación de coordenadas.
La interpolación puede verse como una operación de convolución.
Interpolación en la vecindad más cercana.
Puede producir efecto de escalonado.
Interpolación lineal (bilineal)
Establece una recta entre dos puntos de la rejilla (muestreo) y calcula en ella el valor de un punto intermedio.
Difumina un poco los contornos, efecto de promediado.
4
3
2
1
1
(x,y)
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Interpolación lineal 1
La interpolación bilineal es separable, puede por tanto establecerse a partir de dos transformaciones lineales.
Adoptando coordenadas espaciales normalizadas
Dos puntos de la rejilla caerían en -1/2 1/2, entonces :
Kernel de la convolución
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Interpolación lineal 2
1/4
3/4
1/4
1/2
3/4
1/2
1
Transformada de la interpolación lineal
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Interpolación del brillo 2
Interpolación bicúbica. (polinomial de orden 3)
Es más costosa computacionalmente.
Interpolación por Spline
Evita la perdida de derivabilidad en los puntos de la rejilla.
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Zoom e interpolación
(Gp:) Interpolación por el más cercano
(Gp:) Interpolación bilineal
(Gp:) Interpolación bicúbica
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Preprocesamiento local 1
Usan los valores de brillo de una vecindad pequeña para calcular el brillo del pixel en la nueva imagen. Se pueden establecer varias clasificaciones con dos categorías en cada una:
Suavizamiento (filtro pasa bajos, elimina ruido y difumina).
Operadores de gradiente (filtro pasa altos, resalta los contrastes).
Operadores lineales (convoluciones, filtros).
Operadores no lineales.
Operadores en el dominio del espacio.
Operadores en el dominio de la frecuencia.
Se usa poco conocimiento a priori.
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Preprocesamiento local 2
Debe fijarse un tamaño de vecindad, que se llama ventana o máscara del filtro.
Puede ser rectangular o de cualquier otra forma, generalmente cuadrado y número de elementos impar.
Debe definirse la posición del pixel de estudio respecto a la ventana, generalmente y por simetría el central.
En una convolución las propiedades del filtro vienen dadas por los coeficientes de la máscara.
Hay problemas de orlado del contorno.
Duplicación periódica.
Duplicación del borde.
Puesta a cero del contorno.
Suprimir borde
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Filtros recursivos.
Incorporan los resultados que se están obteniendo durante la convolución en la operación que se realiza con el siguiente pixel.
Si el filtro solo depende de valores anteriores
de señal se denomina causal.
En el dominio del tiempo los filtros deben ser causales, con imágenes pueden no serlo.
Suelen actuar como filtros paso-baja.
Entre las propiedades de los filtros recursivos están:
La respuesta impulso (PSF) es infinita, por ello también se les conoce como filtros IIR en contraposición con los FIR (donde el tamaño de la respuesta es igual al de la máscara).
Los filtros IIR, al contrario que los FIR, no son siempre estables.
Cualquier filtro recursivo puede sustituirse por uno no recursivo, generalmente de máscara infinita (dada por la PSF del IIR).
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Filtros no recursivos (FIR)
No incorporan los resultados que se están obteniendo durante la convolución en la operación que se realiza con el siguiente pixel.
Solo dependen de los valores de la señal de entrada.
En el procesamiento de imagen en el dominio temporal los filtros más empleados son FIR no causales.
Trabajan sobre un conjunto infinito de frecuencias.
Se emplean filtros lineales e invariantes (LSI). Entre sus propiedades destacan:
Conmutatividad (no confundir con producto de matrices).
Asociatividad (máscaras separables).
9 productos y 8 sumas pasan a 6 productos
y 4 sumas. No todos los filtros son separables
Distributiva respecto a la adición.
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Filtros combinados
Hay filtros que pueden considerarse una combinación de los anteriores.
Parten de un compromiso entre la actuación en el dominio del tiempo y el de la frecuencia.
Marr y Hildreth establecieron un parámetro de incertidumbre
donde ? y X son la extensión de actuación en el dominio de la frecuencia y espacial respectivamente.
La incertidumbre está acotada inferiormente ?U ? 1/2
Un operador de suavizado es más óptimo cuanto más se acerque al valor 1/2 en su incertidumbre.
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Suavizamiento de imagen (smoothing)
El objetivo es eliminar ruido. La idea básica es que en pixels pertenecientes a una región los valores deben ser semejantes.
Puede hacerse tomando varias imágenes de una escena estática.
Se calcula el valor promedio en una vecindad por convolución.
Promediado : hay diversas máscaras posibles, todas ellas se normalizan.
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Suavizamiento de imagen 2
El ruido, cambio brusco de intensidad, es una señal de alta frecuencia.
El principal inconveniente de este método es que difumina los contornos (bluring). A mayor ventana mayor difuminado.
Para evitarlo se pueden emplear varias opciones:
Promediar solamente pixels que cumplan cierta condición:
El valor del pixel cae en un rango f(i,j) ?[min,max]
La diferencia de pixels no excede de una cota.
Utilización previa de gradientes, solo se emplearán los puntos cuyo gradiente sea inferior a un umbral.
Promediar de acuerdo a un gradiente inverso.
Promediar utilizando máscaras rotatorias, busca partes homogéneas en la vecindad del pixel.
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Propiedades de los filtros de suavizamiento
No deben desplazar la posición de los objetos en la imagen.
Deben ser de fase cero, por tanto su función de transferencia es real, deben tener una máscara simétrica.
Deben preservar la media
La componente de f=0 debe ser 1, la suma de todos los coeficientes de la máscara es 1.
Función de transferencia decreciente monótona. Deben eliminarse los objetos pequeños antes que los grandes.
La función de transferencia decrece monótonamente con la f.
Isotropía, no debe favorecerse ninguna dirección (en los espacios discretos solo se consigue aproximadamente).
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